Calculadora de regra de três

Toda regra de três começa por uma tabela de duas linhas e duas colunas. Cada coluna é uma grandeza — metros e reais, pedreiros e dias, questões e nota —, e cada linha é uma situação. Três das quatro casas você conhece; a quarta é o x. A montagem do caso que a calculadora já mostra acima fica assim:

Com a tabela pronta, a conta tem cinco passos. Só o segundo exige pensar, e é nele que mora o erro que a conta não denuncia: o número sai redondo e convincente mesmo com o sentido trocado.

1. Monte a tabela. Escreva as duas situações em duas linhas, com cada grandeza na própria coluna: 4 metros e R$ 38,00 na primeira linha, 7 metros e x na segunda. Unidade igual dentro de cada coluna.
2. Decida o sentido. Pergunte: se uma grandeza aumentar, a outra aumenta ou diminui na mesma razão? Aumenta junto é direta; diminui na mesma razão é inversa. Essa resposta vem do problema, não dos números.
3. Multiplique. Na direta, multiplique em cruz: 4 × x = 38 × 7. Na inversa, multiplique os valores da mesma linha: 9 × x = 6 × 15.
4. Isole o x. Divida o produto pelo número que acompanha o x: 266 ÷ 4 dá R$ 66,50, e 90 ÷ 9 dá 10.
5. Confira o bom senso. Mais metros custam mais, e mais pedreiros terminam em menos dias. Se o resultado andou no sentido oposto ao que a situação pede, o sentido foi escolhido errado — é o erro que transforma 10 dias em 22,5.

A montagem do caso padrão, linha a linha

1. Monte a proporção: 4 está para R$ 38,00 assim como 7 está para x.
2. As grandezas são diretamente proporcionais: multiplique em cruz — o primeiro valor de uma linha pelo segundo valor da outra.
3. 4 × x = 38 × 7
4. 4 × x = 266
5. x = 266 ÷ 4
6. x = R$ 66,50

Por que a multiplicação cruzada funciona

Duas grandezas diretamente proporcionais mantêm a mesma razão entre si. Se 4 metros custam R$ 38,00, o preço por metro é sempre o mesmo, e a proporção 4 está para R$ 38,00 assim como 7 está para x é uma igualdade entre duas frações. Numa igualdade de frações, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos — é daí que sai o 4 × x = 38 × 7. A multiplicação cruzada não é truque decorado: é a propriedade fundamental das proporções.

Na inversa, quem se mantém constante é o produto, e não a razão. 6 pedreiros em 15 dias somam 90 dias de trabalho de um pedreiro; qualquer outra equipe que faça a mesma obra soma o mesmo total. Por isso a conta multiplica os valores da mesma linha: 9 × x = 6 × 15, e x = 90 ÷ 9 = 10.

Esta é a razão de a calculadora pedir o sentido em vez de adivinhar. Uma ferramenta que tentasse deduzir o sentido pelos números erraria todo problema inverso com toda a confiança, porque pedreiros e dias têm exatamente a mesma cara de metros e reais. O teste é mental e não exige conta nenhuma: imagine uma das grandezas dobrando.

• Se a outra também dobra, a proporção é direta. Dobro de metros, dobro do preço; dobro de litros, dobro dos quilômetros; dobro de pães, dobro de farinha.
• Se a outra cai pela metade, é inversa. Dobro de pedreiros, metade dos dias; dobro da velocidade, metade do tempo; dobro de cães, a ração dura metade.
• Se a outra muda, mas não na mesma razão — ou não muda —, as grandezas não são proporcionais, e nenhuma das duas contas vale.

A tabela abaixo mostra o tamanho do estrago de errar o sentido. Ela refaz o exemplo da obra para equipes de vários tamanhos: a coluna do meio é a resposta certa; a da direita, o que sairia tratando pedreiros e dias como diretamente proporcionais. Repare que as duas colunas só coincidem na linha dos 6 pedreiros, a situação de partida, e se afastam à medida que a equipe se afasta dela, para menos ou para mais — e que a leitura errada promete que mais gente leva mais tempo, o que o bom senso recusa na hora.

O bom senso como conferência

Depois da conta, compare o resultado com a situação. Se o problema diz que a equipe aumentou e o resultado diz que a obra ficou mais longa, o sentido está trocado. Por isso o painel da calculadora, na regra de três simples, mostra também o número que sairia com o sentido oposto: no caso padrão, R$ 66,50 com a proporção direta e ≈ R$ 21,71 se fosse inversa. Quando os dois números estão lado a lado, fica difícil escolher o errado sem perceber.

Na receita, 3 xícaras de farinha para 12 pães viram 5 xícaras para 20 pães. No carro, 36 litros que rendem 432 km viram 600 km com 50 litros, desde que o consumo médio se mantenha. Na viagem, 3 h a 80 km/h viram 2 h a 120 km/h — inversa, porque a distância é a mesma. E um saco de ração que dura 12 dias para 4 cães dura 8 dias para 6.

A linha da porcentagem mostra que regra de três e porcentagem são a mesma conta vista de lados diferentes: se 250 é o total, 40 é 16% dele. E a linha dos pães mostra o que acontece quando a divisão não fecha: R$ 10,00 por 3 pães dá 10/3 de real por pão, que vira R$ 3,33 depois do arredondamento ao centavo.

É a pergunta de quem acabou de receber a prova corrigida, e um caso em que a regra de três funciona sem ressalva — desde que todas as questões valham o mesmo. A montagem completa, do jeito que a calculadora mostra:

1. Monte a proporção: 40 está para 10 assim como 27 está para x.
2. As grandezas são diretamente proporcionais: multiplique em cruz — o primeiro valor de uma linha pelo segundo valor da outra.
3. 40 × x = 10 × 27
4. 40 × x = 270
5. x = 270 ÷ 40
6. x = 6,75

O sentido é direto porque mais acertos dão nota maior, na mesma razão: acertar o dobro de questões dá o dobro da nota. A fração exata é 27/4, e o resultado com duas casas é 6,75. Se a escola lança a nota com uma casa, o mesmo resultado vira 6,8; sem casa nenhuma, 7. Qual arredondamento vale é regra da escola, e não da matemática — por isso a calculadora deixa as casas decimais como escolha.

A regra de três deixa de servir quando as questões têm pesos diferentes. Uma prova com questões de um ponto e questões de dois pontos não dá nota proporcional ao número de acertos; ali a conta certa é somar os pontos de cada questão acertada. A proporção só volta a valer para converter a soma de uma escala para outra.

O problema: 8 operários trabalhando 6 horas por dia constroem 120 metros de muro em 20 dias. Em quantos dias 12 operários, trabalhando 8 horas por dia, constroem 180 metros? A grandeza procurada é o número de dias; as outras três se relacionam com ela, cada uma do seu jeito.

1. Operários são inversos aos dias. Mais gente termina antes, então o fator é o antigo sobre o novo: 2/3.
2. Horas por dia também são inversas. Jornada mais longa termina antes: fator 3/4.
3. Metros de muro são diretos. Mais muro exige mais dias: fator 3/2.
4. Multiplique tudo sobre o valor conhecido. x = 20 × (8 ÷ 12) × (6 ÷ 8) × (180 ÷ 120) = 15 dias.

O erro a evitar na composta é dar a todas as grandezas o mesmo sentido. Tratando as três como diretas, o resultado seria 60 dias — o contrário do que acontece quando se contrata mais gente e se trabalha mais horas. Trocar o sentido de uma única grandeza também muda o resultado inteiro: com os metros como inversos, a conta daria ≈ 6,67 dias.

A regra para não se perder é comparar sempre com a grandeza procurada, uma de cada vez, como se as outras estivessem paradas. "Se só o número de operários mudasse, os dias aumentariam ou diminuiriam?" Essa pergunta, feita para cada grandeza, decide cada fator. A calculadora aceita até três grandezas relacionadas e pede o sentido de cada uma em separado.

Base Nacional Comum Curricular (BNCC), habilidade EF07MA17

Define o que se espera no 7º ano: "Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas." É a regra de três simples, direta e inversa, desta página.

BNCC, habilidade EF08MA12

Pede que o aluno saiba "identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais". É o fundamento da escolha explícita de sentido nesta calculadora — e do caso de borda das grandezas que não são proporcionais.

BNCC, habilidade EF09MA08

Estende a proporcionalidade direta e inversa a "duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação". É a regra de três composta.

A própria BNCC pede que, nos anos iniciais, problemas de proporção sejam resolvidos sem utilizar a regra de três, e que no 6º ano a porcentagem seja calculada sem fazer uso dela, com estratégias pessoais. A leitura desta página é que a regra de três vem depois, como método geral para o que a intuição já resolvia — o documento não diz isso com essas palavras. Vale para quem estuda com esta página: use a calculadora para conferir, e a montagem linha a linha para entender por que a conta é aquela.